9. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны √24. Найдите расстояние от точки D до прямой A₁C₁.

Обозначим ребро куба через \(s=\sqrt{24}\). Возьмём координаты \(D=(0,s,0)\), \(A_1=(0,0,s)\), \(C_1=(s,s,s)\). Направляющий вектор прямой A₁C₁ равен \((s,s,0)\), а \(\overrightarrow{A_1D}=(0,s,-s)\).

Квадрат расстояния от D до прямой равен квадрату длины \(\overrightarrow{A_1D}\) минус квадрат его проекции на направление прямой: \(2s^2-\frac{s^2}{2}=\frac32s^2=36\). Значит, расстояние равно 6.

Ответ: 6.