1. Вершину треугольника соединяют с произвольными точками на его противоположной стороне. Докажите, что середины всех полученных отрезков лежат на одной прямой.

Пусть вершина треугольника — A, а точки на противоположной стороне BC — P₁, P₂, … . Обозначим середины отрезков AP₁, AP₂, … через M₁, M₂, … .

По теореме о средней линии треугольника, в треугольнике ABPᵢ середина Mᵢ отрезка APᵢ и середина стороны BPᵢ соединены отрезком, параллельным AB. Удобнее увидеть общий результат в координатах: зададим A как начало координат, а точки B и C — векторы b и c. Любая точка P на BC имеет вид P=(1−t)b+tc. Тогда середина M отрезка AP имеет координаты M=P/2.

Поскольку P лежит на прямой BC, все точки M получаются из точек прямой BC гомотетией с центром A и коэффициентом 1/2. Их геометрическое место — прямая, параллельная BC.

Ответ: середины всех отрезков лежат на прямой, параллельной противоположной стороне треугольника.