6. Докажите, что средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке.

Пусть ABCD — четырёхугольник, а P, Q, R, S — середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Средние линии четырёхугольника — PR и QS. Обозначим через M и N середины диагоналей AC и BD.

В векторных обозначениях координаты точек P и R дают \(\overrightarrow{PR}=\frac{\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}}{2}\), а аналогично для QS. Обе линии проходят через точку с радиус-вектором \(O=(A+B+C+D)/4\): это непосредственно следует из того, что O является серединой как PR, так и QS.

Середина MN также имеет радиус-вектор \(((A+C)/2+(B+D)/2)/2=(A+B+C+D)/4\), то есть совпадает с O. Поэтому обе средние линии и отрезок MN проходят через одну точку.

Доказано: три указанных отрезка пересекаются в общей точке.