5. Известно, что средние линии четырёхугольника равны. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.

Пусть M, N, P, Q — середины сторон четырёхугольника ABCD, взятые по порядку. По теореме о средней линии треугольника стороны четырёхугольника MNPQ равны половинам диагоналей ABCD: \(MN=\frac{AC}{2}\), \(NP=\frac{BD}{2}\), \(PQ=\frac{AC}{2}\), \(QM=\frac{BD}{2}\).

По условию все средние линии равны, значит, \(AC=BD\). Одного этого равенства недостаточно, чтобы заключить, что диагонали перпендикулярны. Например, у прямоугольника средние линии равны, если его диагонали равны, но диагонали прямоугольника обычно не перпендикулярны.

Следовательно, в условии в изображении, вероятно, не хватает данных или формулировка задачи содержит дополнительное условие. По видимому тексту требуемое утверждение доказать нельзя.