8. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов при боковой стороне трапеции лежит на её средней линии.

Пусть AB и CD — основания трапеции, а AD — боковая сторона. Обозначим через O точку пересечения биссектрис углов A и D.

Так как основания трапеции параллельны, внутренние односторонние углы при боковой стороне AD supplementary: \(\angle A+\angle D=180^\circ\). Их биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому угол между биссектрисами равен \(90^\circ\).

Треугольник AOD прямоугольный, и \(AO\) и \(DO\) — его биссектрисы углов при A и D. Точка O равноудалена от прямых AB и CD, поскольку лежит на биссектрисе угла между AB и AD и на биссектрисе угла между AD и CD. Геометрическое место точек, равноудалённых от параллельных оснований, — прямая, параллельная основаниям и проходящая посередине между ними, то есть средняя линия трапеции.

Доказано.