9. Известно, что у четырёхугольника равны две противоположные стороны. Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует с этими сторонами равные углы.

Пусть в четырёхугольнике ABCD равны противоположные стороны AB и CD. Обозначим середины диагоналей AC и BD через M и N.

По координатам или векторному правилу для середины отрезка \(\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}}{2}\). Векторы AB и DC имеют одинаковую длину, поскольку AB=CD.

Сумма двух равных по длине векторов направлена по биссектрисе угла между ними: она образует равные углы с каждым из векторов. Поэтому прямая MN образует равные углы с прямыми AB и CD.

Доказано.