7. Две противоположные стороны шестиугольника параллельны и равны. Докажите, что середины четырёх остальных его сторон являются вершинами параллелограмма.

Пусть ABCDEF — шестиугольник, причём противоположные стороны AB и DE параллельны и равны. Тогда векторы \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ED}\) либо \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DE}\), в зависимости от выбранного порядка вершин; в любом случае их равенство как направленных векторов с учётом порядка даёт равенство соответствующих разностей координат.

Обозначим середины четырёх остальных сторон BC, CD, EF, FA через M, N, P, Q соответственно. По формуле середины отрезка и условию равенства параллельных сторон получаем \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\), а также \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}\). Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника MNPQ попарно параллельны и равны.

Ответ: середины четырёх остальных сторон образуют параллелограмм.