10.(1 балл) Найдите \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5} \) и \( \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \).

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставим значение \( \sin \alpha \):

\[ \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{4 \cdot 6}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{24}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{24}{25} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{25 - 24}{25} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{25} \]

\[ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5} \]

Так как \( \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \), угол \( \alpha \) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, выбираем отрицательное значение.

Ответ: -\(\frac{1}{5}\).