15.(1 балл) На рисунке изображены график функции \( y=f(x) \) и касательная к нему в точке с абсциссой \( x_0 \). Найдите значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \).

Решение:

Значение производной функции в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. Угол наклона касательной равен углу, образованному касательной и положительным направлением оси Ox. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике, образованном касательной и осями координат (или параллельными им линиями).

По графику видно, что касательная проходит через точки \( (-2; 6) \) и \( (0; 0) \).

Найдем тангенс угла наклона касательной, который равен коэффициенту наклона прямой:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Возьмем точки \( x_1 = -2, y_1 = 6 \) и \( x_2 = 0, y_2 = 0 \).

\[ k = \frac{0 - 6}{0 - (-2)} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Значение производной функции \( f'(x_0) \) равно коэффициенту наклона касательной \( k \).

Ответ: -3.