5.(1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по закону \( x(t) = -\frac{1}{6}t^2 + 5t - \frac{1}{2} \) (где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с

Решение:

Скорость материальной точки является производной от её положения по времени:

\[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{6}t^2 + 5t - \frac{1}{2}\right) \]

Вычисляем производную:

\[ v(t) = -\frac{1}{6} \cdot 2t + 5 = -\frac{1}{3}t + 5 \]

Приравниваем скорость к заданному значению 4 м/с:

\[ -\frac{1}{3}t + 5 = 4 \]

Решаем уравнение относительно \( t \):

\[ -\frac{1}{3}t = 4 - 5 \]

\[ -\frac{1}{3}t = -1 \]

\[ t = (-1) \cdot (-3) = 3 \]

Ответ: 3 секунды.