10. \(2^{2x-2}-2^{x-3}=1\)

Положим \(t=2^{x-3}\), причём \(t>0\). Тогда \(2^{2x-2}=2^{2(x-3)+4}=16t^2\), и уравнение принимает вид \(16t^2-t-1=0\).

По формуле корней квадратного уравнения получаем \(t=\frac{1\pm\sqrt{65}}{32}\). Условию \(t>0\) удовлетворяет только \(t=\frac{1+\sqrt{65}}{32}\). Значит, \(2^{x-3}=\frac{1+\sqrt{65}}{32}\), поэтому \(x=3+\log_2\left(\frac{1+\sqrt{65}}{32}\right)\).

Ответ: \(x=3+\log_2\left(\frac{1+\sqrt{65}}{32}\right)\).