10. \(27^x \cdot 9^{1+2x} = 3^{5x-4}\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим 27 и 9 как степени числа 3: \(27 = 3^3\), \(9 = 3^2\).
2. Шаг 2: Подставим это в уравнение: \((3^3)^x \cdot (3^2)^{1+2x} = 3^{5x-4}\).
3. Шаг 3: Используем свойство степени \((a^m)^n = a^{m cdot n}\): \(3^{3x} \cdot 3^{2(1+2x)} = 3^{5x-4}\).
4. Шаг 4: \(3^{3x} \cdot 3^{2+4x} = 3^{5x-4}\).
5. Шаг 5: Используем свойство степени \(a^m cdot a^n = a^{m+n}\): \(3^{3x + (2+4x)} = 3^{5x-4}\).
6. Шаг 6: \(3^{7x+2} = 3^{5x-4}\).
7. Шаг 7: Приравняем показатели степеней: \(7x+2 = 5x-4\).
8. Шаг 8: Решим линейное уравнение: \(7x - 5x = -4 - 2\) \(2x = -6\) \(x = -3\).

Ответ: -3