3. \(\log_2(2x+x^2) = \log_2(12+3x)\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: \(2x+x^2 > 0\) и \(12+3x > 0\).
2. Шаг 2: Из \(12+3x > 0\) следует \(3x > -12\), то есть \(x > -4\).
3. Шаг 3: Из \(x^2+2x > 0\) следует \(x(x+2) > 0\), что выполняется при \(x < -2\) или \(x > 0\).
4. Шаг 4: Объединяя условия \(x > -4\) и (\(x < -2\) или \(x > 0\)), получаем ОДЗ: \(-4 < x < -2\) или \(x > 0\).
5. Шаг 5: Приравниваем выражения под логарифмами: \(2x+x^2 = 12+3x\).
6. Шаг 6: Получаем квадратное уравнение: \(x^2 - x - 12 = 0\).
7. Шаг 7: Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\).
8. Шаг 8: Найдем корни уравнения: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}\).
9. Шаг 9: Получим два корня: \(x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4\) и \(x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3\).
10. Шаг 10: Проверим корни на соответствие ОДЗ: \(x_1=4\) удовлетворяет \(x > 0\). \(x_2=-3\) удовлетворяет \(-4 < x < -2\).
11. Шаг 11: Сравним корни и выберем меньший: \(-3 < 4\).

Ответ: -3