10. Диагонали параллелограмма MFEN пересекаются в точке O. Докажите, что \(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FM}\).

Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, O — середина диагонали FN и MFEN имеет равенства векторных радиус-векторов M + E = F + N. Для левой части последовательно сгруппируем векторы:

\(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{MF}\), а \(\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{FN}\). Поэтому левая часть равна \(\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FN}=\overrightarrow{MN}\).

Правая часть также равна \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FM}\), и по правилу сложения векторов это не всегда равно \(\overrightarrow{MN}\). Например, в параллелограмме \(\overrightarrow{ME}=u\), \(\overrightarrow{MF}=v\), тогда правая часть равна u − v, а левая — u + v. Следовательно, записанное равенство в общем случае неверно; вероятно, в условии опечатка.