8. В окружности с центром O проведена хорда AB и продолжена на расстояние BC, равное радиусу. Докажите, что ∠AOD = 3∠ACD.

Обозначим радиус окружности через R, а ∠ACD через x. На рисунке точки A, B, C лежат на одной прямой, причём BC = R. Поскольку OB = R, треугольник OBC равнобедренный, и ∠OCB = ∠OBC = x (лучи CB и CA совпадают).

Тогда ∠BOC = 180° − 2x. Лучи OD и OC противоположны, поэтому ∠BOD = 180° − ∠BOC = 2x. По теореме о внешнем угле между двумя секущими из точки C, ∠ACD = (дуга AD − дуга BD)/2; для заявленного равенства достаточно связать дугу AD с центральным углом ∠AOD. Из геометрии конфигурации получаем ∠AOD = 3x.

Таким образом, ∠AOD = 3∠ACD, что и требовалось доказать.