10. Докажите, что у равных треугольников BDE и B,D,E, биссектрисы, проведенные из вершин В и В, равны.

Доказательство:

Дано: \( \triangle BDE = \triangle B_1D_1E_1 \).

Нужно доказать: \( BD = B_1D_1 \), где \( BD \) и \( B_1D_1 \) — биссектрисы, проведённые из вершин \( B \) и \( B_1 \) соответственно.

Доказательство:

1. Так как \( \triangle BDE = \triangle B_1D_1E_1 \) (по условию), то равны соответствующие стороны и углы:

• \( BD \) и \( B_1D_1 \) — биссектрисы, проведённые из вершин \( B \) и \( B_1 \).
• \( ∠ DBE = ∠ D_1B_1E_1 \) (углы при вершине \( B \) и \( B_1 \)).
• \( ∠ BED = ∠ B_1E_1D_1 \) (углы при вершине \( E \) и \( E_1 \)).
• \( ∠ BDE = ∠ B_1D_1E_1 \) (углы при вершине \( D \) и \( D_1 \)).

2. Так как \( BD \) — биссектриса \( ∠ DBE \), то \( ∠ ABD = ∠ EBD = \frac{1}{2} ∠ DBE \).

3. Аналогично, так как \( B_1D_1 \) — биссектриса \( ∠ D_1B_1E_1 \), то \( ∠ A_1B_1D_1 = ∠ E_1B_1D_1 = \frac{1}{2} ∠ D_1B_1E_1 \).

4. Поскольку \( ∠ DBE = ∠ D_1B_1E_1 \), то и половины этих углов равны:

\[ ∠ EBD = ∠ E_1B_1D_1 \]

5. Рассмотрим треугольники \( \triangle EBD \) и \( \triangle E_1B_1D_1 \).

• \( ∠ BED = ∠ B_1E_1D_1 \) (по условию равенства треугольников).
• \( EB = E_1B_1 \) (как соответствующие стороны равных треугольников \( \triangle BDE \) и \( \triangle B_1D_1E_1 \)).
• \( ∠ EBD = ∠ E_1B_1D_1 \) (доказано в п. 4).

6. По первому признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( \triangle EBD = \triangle E_1B_1D_1 \).

7. Так как \( \triangle EBD = \triangle E_1B_1D_1 \), то их соответствующие стороны равны. Следовательно, \( BD = B_1D_1 \).

Что и требовалось доказать.