10. Докажите, что у равных треугольников BDE и B,D,E, биссектрисы, проведенные из вершин В и В, равны.

Задание 10. Доказательство равенства биссектрис

Дано:

• \( \triangle BDE = \triangle B_1D_1E_1 \) (равные треугольники).
• \( BH \) — биссектриса \( \angle B \) в \( \triangle BDE \).
• \( B_1H_1 \) — биссектриса \( \angle B_1 \) в \( \triangle B_1D_1E_1 \).

Доказать: \( BH = B_1H_1 \).

Доказательство:

1. По условию, \( \triangle BDE = \triangle B_1D_1E_1 \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон:

• \( \angle B = \angle B_1 \)
• \( BD = B_1D_1 \)
• \( BE = B_1E_1 \)

2. \( BH \) — биссектриса \( \angle B \), а \( B_1H_1 \) — биссектриса \( \angle B_1 \).

По определению биссектрисы, она делит угол пополам:

• \( \angle HBD = \angle HBE = \frac{1}{2} \angle B \)
• \( \angle H_1B_1D_1 = \angle H_1B_1E_1 = \frac{1}{2} \angle B_1 \)

Так как \( \angle B = \angle B_1 \), то и их половины равны:

\[ \angle HBD = \angle H_1B_1D_1 \]

3. Рассмотрим треугольники \( \triangle BDH \) и \( \triangle B_1D_1H_1 \).

У них:

• \( BD = B_1D_1 \) (по условию равенства \( \triangle BDE \) и \( \triangle B_1D_1E_1 \)).
• \( \angle B = \angle B_1 \) (по условию равенства \( \triangle BDE \) и \( \triangle B_1D_1E_1 \)).
• \( \angle HBD = \angle H_1B_1D_1 \) (как половины равных углов \( B \) и \( B_1 \)).

По двум углам и стороне между ними (признак равенства треугольников по второму и третьему углам и прилежащей стороне), \( \triangle BDH = \triangle B_1D_1H_1 \).

4. Из равенства \( \triangle BDH = \triangle B_1D_1H_1 \) следует равенство соответствующих сторон:

\[ BH = B_1H_1 \]

Что и требовалось доказать.