8. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования: Автомобиль за 3 часа пути проехал на 10 км больше, чем автобус за 4 ч. Найдите скорости автобуса, если она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля.

Задание 8. Задача про автомобиль и автобус (Математическое моделирование)

Этап 1: Анализ условия задачи и составление математической модели.

Дано:

• Время движения автомобиля: \( t_a = 3 \) ч.
• Время движения автобуса: \( t_б = 4 \) ч.
• Разница в расстоянии: \( S_a = S_б + 10 \) км.
• Разница в скорости: \( V_б = V_a - 20 \) км/ч.

Найти: скорости автомобиля \( V_a \) и автобуса \( V_б \).

Математическая модель:

Используем формулу расстояния: \( S = V \cdot t \).

Для автомобиля: \( S_a = V_a \cdot t_a = 3V_a \).

Для автобуса: \( S_б = V_б \cdot t_б = 4V_б \).

Теперь подставим эти выражения в соотношения расстояний:

\[ 3V_a = 4V_б + 10 \]

Из соотношения скоростей выразим \( V_a \):

\[ V_a = V_б + 20 \]

Получили систему уравнений:

\[ \begin{cases} 3V_a = 4V_б + 10 \\ V_a = V_б + 20 \end{cases} \]

Этап 2: Решение математической модели.

Подставим второе уравнение в первое:

\[ 3(V_б + 20) = 4V_б + 10 \]

Раскроем скобки:

\[ 3V_б + 60 = 4V_б + 10 \]

Перенесём \( V_б \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 60 - 10 = 4V_б - 3V_б \]

\[ 50 = V_б \]

Итак, скорость автобуса \( V_б = 50 \) км/ч.

Теперь найдём скорость автомобиля:

\[ V_a = V_б + 20 = 50 + 20 = 70 \]

Скорость автомобиля \( V_a = 70 \) км/ч.

Этап 3: Анализ результата и ответ на вопрос задачи.

Проверим условия задачи:

Расстояние автомобиля: \( S_a = 70 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 210 \) км.

Расстояние автобуса: \( S_б = 50 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 200 \) км.

Разница в расстоянии: \( 210 - 200 = 10 \) км. (Верно)

Разница в скорости: \( 70 - 50 = 20 \) км/ч. (Верно)

Ответ: Скорость автомобиля 70 км/ч, скорость автобуса 50 км/ч.