9. Решите уравнение: х³ + 3х²-4х-12 = 0.

Задание 9. Решение кубического уравнения

У нас есть уравнение \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 \). Попробуем решить его методом группировки.

1. Сгруппируем слагаемые:

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

\[ (x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0 \]

2. Вынесем общие множители из каждой группы:

Из первой скобки вынесем \( x^2 \), из второй — \( -4 \):

\[ x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 \]

3. Вынесем общий множитель \( (x + 3) \):

\[ (x + 3)(x^2 - 4) = 0 \]

4. Применим формулу разности квадратов для \( x^2 - 4 \):

\[ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2) \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ (x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \]

5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Приравняем каждый множитель к нулю:

\[ x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3 \]

\[ x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2 \]

\[ x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2 \]

Ответ: \( x = -3, x = 2, x = -2 \)