4. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: a) (7x+3y)(3y-7x); б) 3b(4-5b)-(b-2)²

Задание 4. Преобразование в многочлен стандартного вида

а) \( (7x+3y)(3y-7x) \)

Здесь мы видим произведение двух скобок. Обратим внимание, что \( 3y-7x \) — это почти то же самое, что \( 7x-3y \), только с противоположным знаком. Можно переписать так:

\[ (7x+3y) \cdot -(7x-3y) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ -(7x+3y)(7x-3y) \]

Внутри скобок у нас формула разности квадратов: \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \). Здесь \( a=7x \) и \( b=3y \).

\[ -((7x)^2 - (3y)^2) \]

\[ -(49x^2 - 9y^2) \]

Снимаем скобки, меняя знаки:

\[ -49x^2 + 9y^2 \]

Или, в стандартном виде, сначала с \( y \):

\[ 9y^2 - 49x^2 \]

Ответ: \( 9y^2 - 49x^2 \)

б) \( 3b(4-5b)-(b-2)^2 \)

Сначала раскроем первую часть: \( 3b(4-5b) \).

\[ 3b \cdot 4 - 3b \cdot 5b = 12b - 15b^2 \]

Теперь раскроем квадрат разности: \( (b-2)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 - 4b + 4 \).

Теперь подставим всё обратно в исходное выражение:

\[ (12b - 15b^2) - (b^2 - 4b + 4) \]

Снимаем скобки, меняя знаки во второй части:

\[ 12b - 15b^2 - b^2 + 4b - 4 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ (-15b^2 - b^2) + (12b + 4b) - 4 \]

\[ -16b^2 + 16b - 4 \]

Ответ: \( -16b^2 + 16b - 4 \)