10. Докажите, что у равных треугольников BDE и B1D1E1 биссектрисы, проведенные из вершин В и В1 равны. (3 балла)

Доказательство:

У нас есть два равных треугольника: \( \triangle BDE \) и \( \triangle B_1D_1E_1 \).

По условию, треугольники равны. Это означает, что соответствующие стороны и углы равны:

• \( BD = B_1D_1 \) (по условию равенства треугольников)
• \( BE = B_1E_1 \) (по условию равенства треугольников)
• \( \angle DBE = \angle D_1B_1E_1 \) (соответственные углы равных треугольников)

Пусть \( BM \) — биссектриса угла \( \angle DBE \), и \( B_1M_1 \) — биссектриса угла \( \angle D_1B_1E_1 \).

По определению биссектрисы, она делит угол пополам:

• \( \angle DBM = \angle MBE = \frac{1}{2} \angle DBE \)
• \( \angle D_1B_1M_1 = \angle M_1B_1E_1 = \frac{1}{2} \angle D_1B_1E_1 \)

Так как \( \angle DBE = \angle D_1B_1E_1 \), то и их половины равны:

• \( \angle DBM = \angle D_1B_1M_1 \)
• \( \angle MBE = \angle M_1B_1E_1 \)

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle BDM \) и \( \triangle B_1D_1M_1 \). Мы знаем, что:

• \( BD = B_1D_1 \) (по условию)
• \( \angle DBM = \angle D_1B_1M_1 \) (доказано выше)
• \( \angle BDM = \angle B_1D_1E_1 \) (соответственные углы равных треугольников). Нам нужно доказать, что \( \angle BDM = \angle B_1D_1M_1 \). В равных треугольниках равны все соответствующие элементы. Соответствующий угол для \( \angle BDM \) — это \( \angle B_1D_1M_1 \).

Поэтому, по первому признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними), \( \triangle BDM \) равен \( \triangle B_1D_1M_1 \).

Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, в том числе и биссектрисы:

• \( BM = B_1M_1 \)

Вывод: У равных треугольников BDE и B1D1E1 биссектрисы, проведенные из вершин В и В1, равны.