10. Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Обозначим:

• \(v_1\) — скорость первого автомобиля (км/ч)
• \(v_2\) — скорость второго автомобиля (км/ч)
• \(t_1\) — время в пути первого автомобиля (ч)
• \(t_2\) — время в пути второго автомобиля (ч)
• \(S\) — расстояние (420 км)

Из условия задачи имеем:

• \(v_1 = v_2 + 24\)
• \(t_1 = t_2 - 2\)
• \(S = 420\)

Мы знаем, что \(S = v \times t\), следовательно, \(t = \frac{S}{v}\).

Подставим это в уравнения:

• \(t_1 = \frac{420}{v_1}\)
• \(t_2 = \frac{420}{v_2}\)

Теперь подставим эти выражения в уравнение \(t_1 = t_2 - 2\):

• \(\frac{420}{v_1} = \frac{420}{v_2} - 2\)

Заменим \(v_2\) через \(v_1\): \(v_2 = v_1 - 24\).

• \(\frac{420}{v_1} = \frac{420}{v_1 - 24} - 2\)

Умножим всё уравнение на \(v_1(v_1 - 24)\) для избавления от знаменателей:

• \(420(v_1 - 24) = 420v_1 - 2v_1(v_1 - 24)\)
• \(420v_1 - 420 imes 24 = 420v_1 - 2v_1^2 + 48v_1\)
• \(420v_1 - 10080 = 420v_1 - 2v_1^2 + 48v_1\)

Сократим \(420v_1\) с обеих сторон:

• \(-10080 = -2v_1^2 + 48v_1\)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \(2v_1^2 - 48v_1 - 10080 = 0\)

Разделим на 2 для упрощения:

• \(v_1^2 - 24v_1 - 5040 = 0\)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• \(D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4(1)(-5040) = 576 + 20160 = 20736\)
• \(\sqrt{D} = \sqrt{20736} = 144\)

Найдем корни:

• \(v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm 144}{2}\)
• \(v_{1,1} = \frac{24 + 144}{2} = \frac{168}{2} = 84\)
• \(v_{1,2} = \frac{24 - 144}{2} = \frac{-120}{2} = -60\)

Так как скорость не может быть отрицательной, первый корень \(v_1 = 84\) км/ч является решением.

Ответ: 84 км/ч