10) $\left(\frac{x^2+2x+4}{4x^2-1}\cdot\frac{2x^2-x}{-x^3+8}-\frac{2-x}{2x^2+x}\right):\frac4{x^2-2x}\ge\frac{4-x}{x+2x^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10) $\left(\frac{x^2+2x+4}{4x^2-1}\cdot\frac{2x^2-x}{-x^3+8}-\frac{2-x}{2x^2+x}\right):\frac4{x^2-2x}\ge\frac{4-x}{x+2x^2}$.$ Фото задания

10) $\left(\frac{x^2+2x+4}{4x^2-1}\cdot\frac{2x^2-x}{-x^3+8}-\frac{2-x}{2x^2+x}\right):\frac4{x^2-2x}\ge\frac{4-x}{x+2x^2}$.

Accepted Answer

Область определения исходного выражения: $x\ne-\frac12,\frac12,0,2$. В произведении разложим на множители: $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$, $2x^2-x=x(2x-1)$, $-x^3+8=-(x-2)(x^2+2x+4)$. После сокращения и упрощения выражение в скобках равно $\frac{4(1-x)}{x(2x+1)(x-2)}$. Деление на $\frac4{x^2-2x}=\frac4{x(x-2)}$ даёт $\frac{1-x}{2x+1}$.

Перенесём правую часть влево:

$\frac{1-x}{2x+1}-\frac{4-x}{x(2x+1)}=\frac{-x^2+2x-4}{x(2x+1)}$.

Числитель $-x^2+2x-4=-((x-1)^2+3)$ всегда отрицателен. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть отрицательным: $x(2x+1)<0$, откуда \(-\frac12

Ответ: $(-\frac12,0)$.

10) \(\left(\frac{x^2+2x+4}{4x^2-1}\cdot\frac{2x^2-x}{-x^3+8}-\frac{2-x}{2x^2+x}\right):\frac4{x^2-2x}\ge\frac{4-x}{x+2x^2}\).

Ответ: