10. Найдите $$26 \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right)$$, если $$\cos \alpha = \frac{12}{13}$$ и \[ \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \]

Решение:

1. Используем формулу приведения для косинуса:
• \[ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \alpha \]
2. Находим значение $$\sin \alpha$$ по известному значению $$\cos \alpha$$:
• Из основного тригонометрического тождества \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
• \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \]
• \[ \sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \]
• \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13} \]
3. Определяем знак $$\sin \alpha$$: Угол \[ \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \] находится в четвертом квадранте. В четвертом квадранте синус отрицателен.
• Значит, \[ \sin \alpha = -\frac{5}{13} \]
4. Подставляем найденное значение в исходное выражение:
• \[ 26 \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) = 26 \times \sin \alpha = 26 \times \left( -\frac{5}{13} \right) \]
• \[ 26 \times \left( -\frac{5}{13} \right) = 2 \times (-5) = -10 \]

Ответ: -10