7. На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро немецкий, шестеро французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо английский и французский, трое немецкий и французский. Выясните, сколько человек знают только английский язык.

Обозначения:

• А - множество людей, знающих английский язык.
• Н - множество людей, знающих немецкий язык.
• Ф - множество людей, знающих французский язык.

Дано:

• \[ |A \cup Н \cup Ф| = 13 \]
• \[ |A| = 10 \]
• \[ |Н| = 7 \]
• \[ |Ф| = 6 \]
• \[ |A \cap Н| = 5 \]
• \[ |A \cap Ф| = 4 \]
• \[ |Н \cap Ф| = 3 \]

Решение:

Используем формулу включений-исключений для трех множеств:

\[ |A \cup Н \cup Ф| = |A| + |Н| + |Ф| - |A \cap Н| - |A \cap Ф| - |Н \cap Ф| + |A \cap Н \cap Ф| \] Подставим известные значения: \[ 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + |A \cap Н \cap Ф| \] \[ 13 = 23 - 12 + |A \cap Н \cap Ф| \] \[ 13 = 11 + |A \cap Н \cap Ф| \] Отсюда находим количество людей, знающих все три языка: \[ |A \cap Н \cap Ф| = 13 - 11 = 2 \] Теперь найдем количество человек, знающих только английский язык. Для этого нужно из общего числа знающих английский вычесть тех, кто знает его в комбинации с другими языками: \[ \text{Только A} = |A| - |A \cap Н|_{\text{только}} - |A \cap Ф|_{\text{только}} - |A \cap Н \cap Ф| \] Сначала найдем количество людей, знающих английский и немецкий, но НЕ французский: \[ |A \cap Н|_{\text{только}} = |A \cap Н| - |A \cap Н \cap Ф| = 5 - 2 = 3 \] Теперь найдем количество людей, знающих английский и французский, но НЕ немецкий: \[ |A \cap Ф|_{\text{только}} = |A \cap Ф| - |A \cap Н \cap Ф| = 4 - 2 = 2 \] Наконец, найдем количество людей, знающих только английский: \[ \text{Только A} = |A| - (|A \cap Н|_{\text{только}}) - (|A \cap Ф|_{\text{только}}) - |A \cap Н \cap Ф| \] \[ \text{Только A} = 10 - 3 - 2 - 2 = 3 \] Ответ: 3