Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Это задача на применение принципа включения-исключения для трех множеств.
Обозначим:
- $$|U| = 13$$ — общее количество человек.
- $$|A| = 10$$ — знают английский.
- $$|N| = 7$$ — знают немецкий.
- $$|F| = 6$$ — знают французский.
- $$|A \cap N| = 5$$ — знают английский и немецкий.
- $$|A \cap F| = 4$$ — знают английский и французский.
- $$|N \cap F| = 3$$ — знают немецкий и французский.
Формула включения-исключения для трех множеств:
- \[ |A \cup N \cup F| = |A| + |N| + |F| - |A \cap N| - |A \cap F| - |N \cap F| + |A \cap N \cap F| \]
Мы знаем, что все 13 человек знают хотя бы один язык, значит $$|A \cup N \cup F| = 13$$ .
Подставим известные значения:
- \[ 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + |A \cap N \cap F| \]
- \[ 13 = 23 - 12 + |A \cap N \cap F| \]
- \[ 13 = 11 + |A \cap N \cap F| \]
- \[ |A \cap N \cap F| = 13 - 11 = 2 \]
Итак, 2 человека знают все три языка.
Теперь найдем, сколько человек знают только английский язык.
Для этого из общего числа знающих английский вычтем тех, кто знает его в комбинации с другими языками.
- \[ \text{Только английский} = |A| - (|A \cap N| - |A \cap N \cap F|) - (|A \cap F| - |A \cap N \cap F|) - |A \cap N \cap F| \]
Или проще:
- \[ \text{Только английский} = |A| - |A \cap N \text{ (без троих)}| - |A \cap F \text{ (без троих)}| - |A \cap N \cap F| \]
Количество людей, знающих английский и немецкий, но не французский:
- \[ |A \cap N| - |A \cap N \cap F| = 5 - 2 = 3 \]
Количество людей, знающих английский и французский, но не немецкий:
- \[ |A \cap F| - |A \cap N \cap F| = 4 - 2 = 2 \]
Теперь вычтем из общего числа знающих английский тех, кто знает его с другими языками:
- \[ \text{Только английский} = |A| - (\text{знают англ. и нем. (не фр.)}) - (\text{знают англ. и фр. (не нем.)}) - (\text{знают все три}) \]
- \[ \text{Только английский} = 10 - 3 - 2 - 2 \]
- \[ \text{Только английский} = 10 - 7 = 3 \]
Ответ: 3
