3. Найдите значение выражения $$\cos^2 23^{\circ} + \cos^2 113^{\circ}$$

Решение:

1. Используем формулу приведения: Мы знаем, что \[ \cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos(\alpha) \] или \[ \cos(90^{\circ} + \alpha) = -\sin(\alpha) \]. Но здесь удобнее использовать свойство \[ \cos(90^{\circ} + \alpha) = -\sin(\alpha) \]. Рассмотрим \[ \cos^2 113^{\circ} \]. \[ 113^{\circ} = 90^{\circ} + 23^{\circ} \] Тогда \[ \cos(113^{\circ}) = \cos(90^{\circ} + 23^{\circ}) = -\sin(23^{\circ}) \].
2. Подставляем в исходное выражение:
• \[ \cos^2 23^{\circ} + (-\sin(23^{\circ}))^2 \]
• \[ \cos^2 23^{\circ} + \sin^2 23^{\circ} \]
3. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Ответ: 1