10. Найдите промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = 9+8x^2-x^4 \).

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти производную функции и определить знаки этой производной.

1. Найдем производную функции \( f(x) = 9+8x^2-x^4 \):
   \( f'(x) = (9+8x^2-x^4)' = 0 + 8 \cdot 2x - 4x^3 = 16x - 4x^3 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 16x - 4x^3 = 0 \)
   \( 4x(4 - x^2) = 0 \)
   \( 4x(2-x)(2+x) = 0 \).
3. Критические точки: \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \).
4. Разобьем числовую ось на интервалы с помощью критических точек и определим знак производной на каждом интервале:
• Интервал \( (-\infty, -2) \): Возьмём \( x = -3 \). \( f'(-3) = 16(-3) - 4(-3)^3 = -48 - 4(-27) = -48 + 108 = 60 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-2, 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( f'(-1) = 16(-1) - 4(-1)^3 = -16 - 4(-1) = -16 + 4 = -12 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (0, 2) \): Возьмём \( x = 1 \). \( f'(1) = 16(1) - 4(1)^3 = 16 - 4 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (2, +\infty) \): Возьмём \( x = 3 \). \( f'(3) = 16(3) - 4(3)^3 = 48 - 4(27) = 48 - 108 = -60 < 0 \). Функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \). Функция убывает на промежутках \( [-2, 0] \) и \( [2, +\infty) \).