4. Упростите выражение: sin² α + ctg²α + cos² α.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и определение котангенса \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

\[ \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \operatorname{ctg}^2 \alpha \]\[ = 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha \]

Вспомним основное тригонометрическое тождество \( 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).

Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).