6. Найдите область определения функции: \( y = \log_{0.2} (-x^2 + 7x - 10) \)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

\( -x^2 + 7x - 10 > 0 \)

1. Умножим неравенство на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 - 7x + 10 < 0 \).
2. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 7x + 10 = 0 \).
3. Дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \).
4. Корни: \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2 \).
5. Квадратный трехчлен \( x^2 - 7x + 10 \) представляет собой параболу ветвями вверх. Неравенство \( x^2 - 7x + 10 < 0 \) выполняется между корнями.

Следовательно, \( 2 < x < 5 \).

Ответ: (2; 5).