5. Найдите решение уравнения: а) log₇ (7x – 3) = log₇ (5x + 11); б) 3^x+2 - 3^x = 72

Решение:

а) \( \log_7 (7x - 3) = \log_7 (5x + 11) \)

1. Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы: \( 7x - 3 = 5x + 11 \).
2. Решим линейное уравнение: \( 7x - 5x = 11 + 3 \) \( 2x = 14 \) \( x = 7 \).
3. Проверим, что аргументы логарифмов положительны при \( x = 7 \):
• \( 7x - 3 = 7 \cdot 7 - 3 = 49 - 3 = 46 > 0 \)
• \( 5x + 11 = 5 \cdot 7 + 11 = 35 + 11 = 46 > 0 \)
4. Оба аргумента положительны, значит \( x = 7 \) — решение.

б) \( 3^{x+2} - 3^x = 72 \)

1. Представим \( 3^{x+2} \) как \( 3^x \cdot 3^2 \): \( 3^x \cdot 3^2 - 3^x = 72 \).
2. Вынесем \( 3^x \) за скобки: \( 3^x (3^2 - 1) = 72 \).
3. Упростим выражение в скобках: \( 3^x (9 - 1) = 72 \) \( 3^x \cdot 8 = 72 \).
4. Найдём \( 3^x \): \( 3^x = \frac{72}{8} = 9 \).
5. Решим показательное уравнение \( 3^x = 9 \). Так как \( 9 = 3^2 \), то \( 3^x = 3^2 \).
6. Отсюда \( x = 2 \).

Ответ: а) 7; б) 2.