10. Найдите значение выражения: \(\frac{9^3 \cdot 8^{12}}{312}\)

Решение:

Сначала представим числа в виде степеней простых множителей:

\( 9 = 3^2 \)

\( 8 = 2^3 \)

\( 312 = 3 × 104 = 3 × 8 × 13 = 3 × 2^3 × 13 \)

Подставим эти значения в выражение:

\( \frac{(3^2)^3 \cdot (2^3)^{12}}{3 × 2^3 × 13} \)

Упростим степени:

\( \frac{3^{2 \times 3} \cdot 2^{3 \times 12}}{3^1 × 2^3 × 13} = \frac{3^6 \cdot 2^{36}}{3^1 × 2^3 × 13} \)

Используем свойство деления степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( 3^{6-1} \cdot 2^{36-3} \cdot \frac{1}{13} = 3^5 \cdot 2^{33} \cdot \frac{1}{13} \)

\( 3^5 = 243 \)

\( 2^{10} = 1024 \)

\( 2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 \)

\( 2^{33} = 2^{30} \cdot 2^3 = 1024^3 \cdot 8 \)

\( \frac{243 \cdot 2^{33}}{13} = \frac{243 \cdot 8 \cdot 1024^3}{13} = \frac{1944 \cdot 1024^3}{13} \)

Это число очень велико для ручного вычисления. Вероятно, в условии есть ошибка или предполагается использование калькулятора/программы.

Если предположить, что в знаменателе не 312, а, например, 31, то:

\( \frac{9^3 \cdot 8^{12}}{31} \)

Если предположить, что в числителе 312, а в знаменателе 812:

\( \frac{312}{812} = \frac{3 × 104}{8 × 101.5} \) - не упрощается.

Проверим, возможно ли упрощение, если 812 - это 81*2 или 8*12.

\( 8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{36} \)

\( 9^3 = (3^2)^3 = 3^6 \)

\( \frac{3^6 × 2^{36}}{312} = \frac{729 × 2^{36}}{312} \)

\( 312 = 3 × 104 = 3 × 8 × 13 = 24 × 13 \)

\( \frac{3^6 × 2^{36}}{3 × 2^3 × 13} = \frac{3^5 × 2^{33}}{13} \)

\( 3^5 = 243 \)

\( 2^{33} \) — это очень большое число.

Поскольку точный числовой ответ без калькулятора не получается, возможно, в задании есть опечатка.

Если бы в знаменателе было, например, \( 3^2 × 2^3 \) (что равно \( 9 × 8 = 72 \)), то:

\( \frac{3^6 × 2^{36}}{3^2 × 2^3} = 3^{6-2} \times 2^{36-3} = 3^4 × 2^{33} = 81 × 2^{33} \).

Если бы в знаменателе было \( 8^3 × 3^2 \) (что равно \( 512 × 9 = 4608 \)) то:

\( \frac{3^6 × 2^{36}}{2^9 × 3^2} = 3^4 × 2^{27} \).

Примем, что в знаменателе должно быть 312, а в числителе 9³ * 8¹². Тогда ответ будет в виде степени:

\( \frac{3^5 × 2^{33}}{13} \)

Ответ: \(\frac{3^5 \cdot 2^{33}}{13}\)