10. Основанием прямой призмы ABCА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), у которого АВ = 3√2 и ∠B = 45°. Диагональ В₁С боковой грани составляет с плоскостью АА₁В₁ плоскостью угол 30°. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Основание призмы:
• Треугольник ABC — прямоугольный (∠C = 90°), AB = 3√2, ∠B = 45°.
• Так как ∠B = 45°, то треугольник ABC — равнобедренный, AC = BC.
• По теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \) => \( 2BC^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18 \) => \( BC^2 = 9 \) => \( BC = 3 \).
• Значит, AC = BC = 3.
• Площадь основания S = \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} \).
2. Боковая грань и угол с плоскостью:
• Диагональ B₁C боковой грани BB₁C₁C.
• Плоскость АА₁В₁В.
• Угол между прямой (B₁C) и плоскостью (АА₁В₁В) — это угол между прямой B₁C и её проекцией на эту плоскость.
• Проекция точки C на плоскость АА₁В₁В — это точка B.
• Проекция точки B₁ на плоскость АА₁В₁В — это точка B₁.
• Проекция отрезка B₁C на плоскость АА₁В₁В — это отрезок BB₁.
• Треугольник BB₁C — прямоугольный (∠B = 90°), так как BB₁ перпендикулярна основанию, а значит, и любой прямой в основании, в том числе BC.
• Угол между B₁C и BB₁ — это угол ∠B₁CB.
• По условию, этот угол равен 30°.
• В прямоугольном треугольнике BB₁C: \( \tan(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC} \).
\( \tan(30^{\circ}) = \frac{BB_1}{3} \) => \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BB_1}{3} \) => \( BB_1 = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \).
• Высота призмы (боковое ребро) H = \( BB_1 = \sqrt{3} \).
3. Объем призмы:
\( V = S_{осн} \cdot H = \frac{9}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{9\sqrt{3}}{2} \).