9. Используйте свойства функций и решите неравенство \( \log_{\frac{1}{3}} x \ge x - 4 \).

Решение:

Рассмотрим функции \( f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x \) и \( g(x) = x - 4 \).

\( f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x \) — убывающая функция, так как основание степени \( \frac{1}{3} \) находится между 0 и 1. Область определения: \( x > 0 \).

\( g(x) = x - 4 \) — возрастающая функция.

Найдем точки пересечения графиков этих функций. Подбором находим, что при \( x=1 \), \( f(1) = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0 \) и \( g(1) = 1 - 4 = -3 \). \( 0 \ge -3 \) — верно.

При \( x=3 \), \( f(3) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1 \) и \( g(3) = 3 - 4 = -1 \). \( -1 \ge -1 \) — верно.

При \( x=9 \), \( f(9) = \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2 \) и \( g(9) = 9 - 4 = 5 \). \( -2 \ge 5 \) — неверно.

Так как \( f(x) \) — убывающая, а \( g(x) \) — возрастающая, то они могут пересекаться не более чем в одной точке. Мы нашли, что \( x=3 \) является точкой пересечения.

Неравенство \( \log_{\frac{1}{3}} x \ge x - 4 \) выполняется, когда график \( f(x) \) находится выше или на уровне графика \( g(x) \).

Для убывающей функции \( f(x) \) это будет происходить до точки пересечения.

С учетом области определения \( x > 0 \), получаем \( 0 < x \le 3 \).

Ответ: \( (0; 3] \).