10. При каких значениях х значение производной функции у = 2x³ – 3х² – 12х + 1 равно 0?

Решение:

Сначала найдём производную функции $$y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$$.

1. Производная от $$2x^3$$: $$2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$$.
2. Производная от $$-3x^2$$: $$-3 \cdot 2x^{2-1} = -6x$$.
3. Производная от $$-12x$$: $$-12 \cdot 1x^{1-1} = -12$$.
4. Производная от $$1$$ (константа): $$0$$.

Итак, производная $$y' = 6x^2 - 6x - 12$$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

$$6x^2 - 6x - 12 = 0$$.

Разделим всё уравнение на 6, чтобы упростить:

$$x^2 - x - 2 = 0$$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$a = 1$$, $$b = -1$$, $$c = -2$$.

Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$.

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$.

Ответ: x = 2, x = -1