8. y = (x²+x) (x³ – x)

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения двух функций: $$(uv)' = u'v + uv'$$.

1. Пусть $$u = x^2 + x$$, тогда $$u' = 2x + 1$$.
2. Пусть $$v = x^3 - x$$, тогда $$v' = 3x^2 - 1$$.

Применяем формулу:

$$y' = (2x + 1)(x^3 - x) + (x^2 + x)(3x^2 - 1)$$.

Раскроем скобки:

$$y' = (2x^4 - 2x^2 + x^3 - x) + (3x^4 - x^2 + 3x^3 - x)$$.

Приведём подобные члены:

$$y' = 2x^4 + x^3 - 2x^2 - x + 3x^4 + 3x^3 - x^2 - x$$.

$$y' = (2x^4 + 3x^4) + (x^3 + 3x^3) + (-2x^2 - x^2) + (-x - x)$$.

$$y' = 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 2x$$.

Ответ: y' = 5x⁴ + 4x³ - 3x² - 2x