10. При каких значениях параметра b уравнение (2b-5)x² - 2(b-1)x + 3 = 0 имеет два различных корня?

Решение:

Квадратное уравнение $$Ax^2 + Bx + C = 0$$ имеет два различных действительных корня, если выполнены два условия:

1. Коэффициент при $$x^2$$ не равен нулю ($$A eq 0$$).
2. Дискриминант уравнения положителен ($$D > 0$$).

В нашем уравнении $$(2b-5)x^2 - 2(b-1)x + 3 = 0$$ имеем:

• $$A = 2b - 5$$
• $$B = -2(b-1)$$
• $$C = 3$$

Условие 1: $$A eq 0$$

• $$2b - 5 eq 0$$
• $$2b eq 5$$
• $$b eq rac{5}{2}$$

Условие 2: $$D > 0$$

Найдем дискриминант:

• $$D = B^2 - 4AC$$
• $$D = ig(-2(b-1)ig)^2 - 4(2b-5)(3)$$
• $$D = 4(b-1)^2 - 12(2b-5)$$
• $$D = 4(b^2 - 2b + 1) - 24b + 60$$
• $$D = 4b^2 - 8b + 4 - 24b + 60$$
• $$D = 4b^2 - 32b + 64$$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти граничные значения $$b$$:

• $$4b^2 - 32b + 64 = 0$$
• Разделим на 4: $$b^2 - 8b + 16 = 0$$
• Это квадрат суммы: $$(b-4)^2 = 0$$
• Отсюда $$b = 4$$.

Получается, что дискриминант $$D = (b-4)^2 imes 4$$.

Условие $$D > 0$$ означает, что $$(b-4)^2 imes 4 > 0$$. Это неравенство верно при всех значениях $$b$$, кроме $$b=4$$ (так как при $$b=4$$ дискриминант равен 0).

Объединяем условия:

У нас есть два условия:

• $$b eq rac{5}{2}$$
• $$b eq 4$$

Следовательно, уравнение имеет два различных корня при всех значениях $$b$$, кроме $$b = rac{5}{2}$$ и $$b = 4$$.

Ответ: $$b eq rac{5}{2}$$ и $$b eq 4$$.