9. Произведение корней уравнения (x² + 3x)² - x² - 3x = 12 равно ...

Решение:

Дано уравнение: $$(x^2 + 3x)^2 - x^2 - 3x = 12$$.

Сделаем замену переменной. Пусть $$y = x^2 + 3x$$. Тогда уравнение примет вид:

• $$y^2 - y = 12$$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $$y$$:

• $$y^2 - y - 12 = 0$$

Найдем корни этого уравнения для $$y$$. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корнями являются 4 и -3.

• $$y_1 = 4$$
• $$y_2 = -3$$

Теперь вернемся к замене $$y = x^2 + 3x$$ и найдем значения $$x$$.

Случай 1: $$y = 4$$

• $$x^2 + 3x = 4$$
• $$x^2 + 3x - 4 = 0$$
• Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -3$$ и $$x_1 imes x_2 = -4$$. Корнями являются $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -4$$.

Случай 2: $$y = -3$$

• $$x^2 + 3x = -3$$
• $$x^2 + 3x + 3 = 0$$
• Найдем дискриминант для этого уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 imes 1 imes 3 = 9 - 12 = -3$$.
• Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, действительные корни исходного уравнения: $$1$$ и $$-4$$.

Найдем произведение этих корней:

• $$1 imes (-4) = -4$$

Ответ: -4