10. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 4, а одна из диагоналей ромба равна 16. Найдите углы ромба.

Точка пересечения диагоналей — центр ромба. Расстояние от неё до стороны равно половине высоты, поэтому высота ромба равна \(8\).

Пусть диагонали равны \(16\) и \(d\). Площадь ромба равна \(\frac{16d}{2}=8d\), а также равна произведению стороны на высоту: \(8a\). Значит, \(a=d\).

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона удовлетворяет \(a^2=8^2+(d/2)^2\). С учётом \(a=d\): \(d^2=64+d^2/4\), откуда \(d^2=256/3\), \(d=16/\sqrt3\).

Пусть \(\alpha\) — острый угол ромба. Для диагонали длины 16 имеем \(16=2a\sin(\alpha/2)\). Поскольку \(a=16/\sqrt3\), получаем \(\sin(\alpha/2)=\sqrt3/2\), следовательно, \(\alpha=120^\circ\) — неверное отнесение диагонали к углу; проверим по площади и высоте.

Высота ромба равна \(a\sin\alpha=8\). Из \(a=16/\sqrt3\) следует \(\sin\alpha=\sqrt3/2\), поэтому возможные углы ромба — \(60^\circ\) и \(120^\circ\). Это согласуется с диагональю 16 как большей диагональю.

Ответ: 60° и 120°.