10. Решить неравенство $\frac{x^4-8x^2-9}{x^8-1}<0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. Решить неравенство $\frac{x^4-8x^2-9}{x^8-1}<0$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим числитель и знаменатель:
\[x^4-8x^2-9=(x^2-9)(x^2+1),\]
\[x^8-1=(x^4-1)(x^4+1).\]

Множители $x^2+1$ и $x^4+1$ всегда положительны. Поэтому знак дроби определяется выражением
\[\frac{x^2-9}{x^4-1}.\]

Критические точки: $-3,-1,1,3$, причём $x=\pm1$ исключаются из области определения. Дробь отрицательна на $(-3,-1)$ и $(1,3)$.

Ответ: $x\in(-3,-1)\cup(1,3)$.

10. Решить неравенство \(\frac{x^4-8x^2-9}{x^8-1}<0\).