10. Решите уравнение: 12ˣ - 8·6ˣ + 12·3ˣ = 0.

10. Решение уравнения:

Уравнение: \( 12^x - 8 · 6^x + 12 · 3^x = 0 \).

Разделим обе части уравнения на \( 3^x \) (так как \( 3^x \) не равно нулю).

\( \frac{12^x}{3^x} - 8 · \frac{6^x}{3^x} + 12 · \frac{3^x}{3^x} = 0 \)

\( \left( \frac{12}{3} \right)^x - 8 · \left( \frac{6}{3} \right)^x + 12 \u00B7 1 = 0 \)

\( 4^x - 8 · 2^x + 12 = 0 \)

Обозначим \( y = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = y^2 \).

Получаем квадратное уравнение относительно \( y \):

\( y^2 - 8y + 12 = 0 \)

Найдём корни этого уравнения:

\( D = (-8)^2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16 \)

\( y_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \)

\( y_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

1) \( 2^x = 6 \) \(\Rightarrow\) \( x = \log_2 6 \)

2) \( 2^x = 2 \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \) и \( x = \log_2 6 \).