10) \(\sin\left(2\arcsin\frac13\right)\)

Пусть \(\alpha=\arcsin(1/3)\). Тогда \(\sin\alpha=1/3\), а \(\cos\alpha=\sqrt{1-1/9}=2\sqrt2/3\).

\[\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac13\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=\frac{4\sqrt2}{9}.\]

Ответ: \(\frac{4\sqrt2}{9}\).