10. Составьте уравнение касательной к графику функции $$y = \frac{2}{x}$$, проходящей через точку $$M(0; 2)$$.

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции:
   $$f'(x) = (\frac{2}{x})' = -\frac{2}{x^2}$$.
2. Уравнение касательной в точке $$x_0$$ будет:
   $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$
   $$y - \frac{2}{x_0} = -\frac{2}{x_0^2}(x - x_0)$$.
3. Так как касательная проходит через точку $$M(0; 2)$$, подставим координаты этой точки в уравнение касательной:
   $$2 - \frac{2}{x_0} = -\frac{2}{x_0^2}(0 - x_0)$$
   $$2 - \frac{2}{x_0} = -\frac{2}{x_0^2}(-x_0)$$
   $$2 - \frac{2}{x_0} = \frac{2}{x_0}$$.
4. Решим полученное уравнение относительно $$x_0$$:
   $$2 = \frac{2}{x_0} + \frac{2}{x_0}$$
   $$2 = \frac{4}{x_0}$$
   $$x_0 = \frac{4}{2} = 2$$.
5. Теперь найдем значение функции и производной в точке касания $$x_0 = 2$$:
   $$f(2) = \frac{2}{2} = 1$$.
   $$f'(2) = -\frac{2}{2^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$.
6. Составим уравнение касательной, используя точку касания $$(2; 1)$$ и угловой коэффициент $$k = -\frac{1}{2}$$:
   $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)$$
   $$y - 1 = -\frac{1}{2}x + 1$$
   $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$.

Ответ: $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$