7. Две точки движутся по законам $$x_1(t) = 4t^2 + 2$$ и $$x_2(t) = 3t^2 + 4t - 1$$ (в метрах, $$t$$ в секундах). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны.

Пошаговое решение:

1. Приравняем законы движения, чтобы найти моменты времени, когда расстояния равны:
   $$x_1(t) = x_2(t)$$
   $$4t^2 + 2 = 3t^2 + 4t - 1$$
   $$4t^2 - 3t^2 - 4t + 2 + 1 = 0$$
   $$t^2 - 4t + 3 = 0$$.
2. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$.
3. Найдем корни:
   $$t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$.
   $$t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$.
4. Найдем скорости движения точек, взяв производные от законов движения:
   $$v_1(t) = x_1'(t) = (4t^2 + 2)' = 8t$$.
   $$v_2(t) = x_2'(t) = (3t^2 + 4t - 1)' = 6t + 4$$.
5. Вычислим скорости в моменты времени $$t=1$$ и $$t=3$$:
   При $$t=1$$:
   $$v_1(1) = 8 \cdot 1 = 8$$ м/с.
   $$v_2(1) = 6 \cdot 1 + 4 = 10$$ м/с.
   При $$t=3$$:
   $$v_1(3) = 8 \cdot 3 = 24$$ м/с.
   $$v_2(3) = 6 \cdot 3 + 4 = 18 + 4 = 22$$ м/с.

Ответ: При $$t=1$$ скорости равны 8 м/с и 10 м/с. При $$t=3$$ скорости равны 24 м/с и 22 м/с.