10. Упростите выражение \(\left(\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}+\frac{2x}{x-3}\right)\cdot\frac{x}{2x+1}-\frac{x-9}{2(3-x)}\).

Разложим квадратный трёхчлен: \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{1}{x+2}+\frac{5}{(x-3)(x+2)}+\frac{2x}{x-3}=\frac{(x-3)+5+2x(x+2)}{(x-3)(x+2)}=\frac{(2x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)}=\frac{2x+1}{x-3}.\)

Умножаем на дробь и учитываем, что \(2(3-x)=-2(x-3)\):

\(\frac{2x+1}{x-3}\cdot\frac{x}{2x+1}-\frac{x-9}{2(3-x)}=\frac{x}{x-3}+\frac{x-9}{2(x-3)}=\frac{3x-9}{2(x-3)}=\frac32.\)

ОДЗ: \(x\ne-2,3,-\frac12\).

Ответ: \(\frac32\).