10. Упростите выражение $$\left(\frac{a-1}{a}\right)^2 - \left(\frac{a-1}{a}+a\right)^2$$.

Краткая запись:

• Выражение: $$\left(\frac{a-1}{a}\right)^2 - \left(\frac{a-1}{a}+a\right)^2$$
• Найти: Упрощенное выражение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим $$A = \frac{a-1}{a}$$ и $$B = \frac{a-1}{a} + a$$.
2. Шаг 2: Применим формулу разности квадратов:
   $$A^2 - B^2 = \left(\frac{a-1}{a}\right)^2 - \left(\frac{a-1}{a}+a\right)^2 = \left(A-B\right)\left(A+B\right)$$.
3. Шаг 3: Вычислим $$A-B$$:
   $$A-B = \frac{a-1}{a} - \left(\frac{a-1}{a}+a\right) = \frac{a-1}{a} - \frac{a-1}{a} - a = -a$$.
4. Шаг 4: Вычислим $$A+B$$:
   $$A+B = \frac{a-1}{a} + \left(\frac{a-1}{a}+a\right) = \frac{a-1}{a} + \frac{a-1}{a} + a = \frac{2(a-1)}{a} + a = \frac{2a-2}{a} + \frac{a^2}{a} = \frac{2a-2+a^2}{a}$$.
5. Шаг 5: Перемножим результаты $$A-B$$ и $$A+B$$:
   $$(-a) \cdot \left(\frac{a^2+2a-2}{a}\right)$$.
6. Шаг 6: Сократим $$a$$:
   $$- \cancel{a} \cdot \frac{a^2+2a-2}{\cancel{a}} = -(a^2+2a-2) = -a^2-2a+2$$.

Ответ: $$-a^2-2a+2$$