11. Докажите, что верно равенство $$\frac{1}{(x-y)(y-z)} - \frac{1}{(y-z)(x-z)} - \frac{1}{(z-x)(y-x)} = 0$$.

Краткая запись:

• Равенство: $$\frac{1}{(x-y)(y-z)} - \frac{1}{(y-z)(x-z)} - \frac{1}{(z-x)(y-x)} = 0$$
• Найти: Доказательство.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приведем знаменатели к единому виду. Заметим, что $$(z-x) = -(x-z)$$ и $$(y-x) = -(x-y)$$.
   Тогда последнее слагаемое можно переписать так:
   $$-\frac{1}{(z-x)(y-x)} = -\frac{1}{(-(x-z))(-(x-y))} = -\frac{1}{(x-z)(x-y)}$$.
2. Шаг 2: Теперь все знаменатели имеют вид, близкий к $$(x-y)(y-z)(x-z)$$.
   Общий знаменатель будет $$(x-y)(y-z)(x-z)$$.
3. Шаг 3: Приведем каждую дробь к общему знаменателю:
   Первая дробь: $$\frac{1}{(x-y)(y-z)} = \frac{x-z}{(x-y)(y-z)(x-z)}$$.
   Вторая дробь: $$\frac{1}{(y-z)(x-z)} = \frac{x-y}{(x-y)(y-z)(x-z)}$$.
   Третья дробь (с учетом преобразования из Шага 1): $$-\frac{1}{(x-z)(x-y)} = -\frac{y-z}{(x-y)(y-z)(x-z)}$$.
4. Шаг 4: Подставим приведенные дроби в исходное выражение:
   $$\frac{x-z}{(x-y)(y-z)(x-z)} - \frac{x-y}{(x-y)(y-z)(x-z)} - \frac{y-z}{(x-y)(y-z)(x-z)}$$.
5. Шаг 5: Выполним вычитание числителей:
   $$\frac{(x-z) - (x-y) - (y-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)}$$.
6. Шаг 6: Раскроем скобки в числителе:
   $$x - z - x + y - y + z$$.
7. Шаг 7: Упростим числитель:
   $$(x-x) + (y-y) + (-z+z) = 0$$.
8. Шаг 8: Таким образом, числитель равен 0.
   $$\frac{0}{(x-y)(y-z)(x-z)} = 0$$.

Доказано.