10. Упростите выражение log₂ ((sin α - cos α)² - 1 + 1/4 sin 2α) + 1/2 cos² 2α.

Решение:

1. Рассмотрим выражение под логарифмом: \( (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - 1 + \frac{1}{4} \sin 2\alpha \).
2. Раскроем квадрат разности: \( \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 1 + \frac{1}{4} \sin 2\alpha \).
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и формулу двойного угла \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
4. \( 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha - 1 + \frac{1}{4} \sin 2\alpha \).
5. \( -\sin 2\alpha + \frac{1}{4} \sin 2\alpha \).
6. \( (1 - \frac{1}{4}) (-\sin 2\alpha) = -\frac{3}{4} \sin 2\alpha \).
7. Таким образом, выражение под логарифмом равно \( -\frac{3}{4} \sin 2\alpha \).
8. Теперь рассмотрим всё выражение: \( \log_2 (-\frac{3}{4} \sin 2\alpha) + \frac{1}{2} \cos^2 2\alpha \).
9. Для существования логарифма необходимо, чтобы аргумент был положительным: \( -\frac{3}{4} \sin 2\alpha > 0 \), что означает \( \sin 2\alpha < 0 \).
10. Упростить данное выражение дальше без дополнительных условий на \( \alpha \) невозможно, так как оно содержит и логарифм, и косинус квадрата угла. Возможно, в условии была опечатка.
11. Если предположить, что под логарифмом должно быть что-то, что упрощается к степени 2, например, 4, то логарифм будет равен 2.
12. Если предположить, что имелось в виду \( \log_2 (4) \) вместо \( \log_2 (-\frac{3}{4} \sin 2\alpha) \), тогда: \( 2 + \frac{1}{2} \cos^2 2\alpha \).
13. Если предположить, что всё выражение под логарифмом: \( \log_2 (((sin \alpha - cos \alpha)^2 - 1 + \frac{1}{4} \sin 2\alpha) + \frac{1}{2} \cos^2 2\alpha) \), то: \( \log_2 (-\frac{3}{4} \sin 2\alpha + \frac{1}{2} \cos^2 2\alpha) \).
14. Учитывая стандартный вид таких задач, скорее всего, выражение под логарифмом должно было упроститься к константе, например, к 4.
15. Если предположить, что всё выражение упрощается к константе, то, вероятно, есть какая-то формула, связывающая \( \sin 2\alpha \) и \( \cos^2 2\alpha \), которая здесь не очевидна или требуется дополнительное условие.
16. Без исправлений или уточнений, выражение не упрощается к простому числовому значению.
17. Наиболее вероятная интерпретация, если предполагается числовой ответ, это ошибка в условии. Если же нужно просто преобразовать, то:

Ответ: \( \log_2 (-\frac{3}{4} \sin 2\alpha) + \frac{1}{2} \cos^2 2\alpha \)