4. Найдите корень уравнения, укажите сумму корней, если их несколько. \(\sqrt{7-x} = x-5\).

Решение:

1. Для решения уравнения \( \sqrt{7-x} = x-5 \) необходимо возвести обе части в квадрат. Перед этим нужно учесть ограничения: \( 7-x \ge 0 \) (т.е. \( x \le 7 \)) и \( x-5 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 5 \)). Таким образом, \( 5 \le x \le 7 \).
2. Возводим обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{7-x})^2 = (x-5)^2 \)
3. \( 7-x = x^2 - 10x + 25 \)
4. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 10x + x + 25 - 7 = 0 \)
5. \( x^2 - 9x + 18 = 0 \)
6. Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \).
7. Находим корни: \( x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
8. \( x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
9. Проверяем корни на соответствие условию \( 5 \le x \le 7 \).
10. Корень \( x_1 = 6 \) удовлетворяет условию.
11. Корень \( x_2 = 3 \) не удовлетворяет условию, так как \( 3 < 5 \).
12. Таким образом, единственным корнем уравнения является \( x = 6 \).
13. Сумма корней равна 6.

Ответ: 6