9.а) Решите уравнение sin2x +2sin² x =0

Решение:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
2. Подставляем в уравнение: \( 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель \( 2 \sin x \): \( 2 \sin x (\cos x + \sin x) = 0 \).
4. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
5. • \( 2 \sin x = 0 \) => \( \sin x = 0 \) => \( x = \pi n \), где \( n \) — целое число.
   • \( \cos x + \sin x = 0 \)
6. Решим второе уравнение: \( \cos x + \sin x = 0 \).
7. Разделим обе части на \( \cos x \) (убедившись, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и \( \cos x + \sin x \neq 0 \)).
8. \( 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \)
9. \( 1 + \operatorname{tg} x = 0 \)
10. \( \operatorname{tg} x = -1 \)
11. \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.
12. Объединяем решения: \( x = \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.

Ответ: \( x = \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \)