9.б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; -π].

Решение:

Уравнение из пункта 9.а): \( \sin 2x + 2\sin^2 x = 0 \). Корни уравнения: \( x = \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).

Нам нужно найти корни, принадлежащие отрезку \( [-\pi; -\pi] \). Этот отрезок состоит из одной точки: \( x = -\pi \).

Проверим, является ли \( x = -\pi \) корнем уравнения.

1. Рассмотрим первую серию корней: \( x = \pi n \).
2. Если \( n = -1 \), то \( x = \pi \cdot (-1) = -\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
3. Рассмотрим вторую серию корней: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \).
4. Подставим \( x = -\pi \): \( -\pi = -\frac{\pi}{4} + \pi k \).
5. \( -\pi + \frac{\pi}{4} = \pi k \)
6. \( -\frac{3\pi}{4} = \pi k \)
7. \( k = -\frac{3}{4} \).
8. Так как \( k \) должно быть целым числом, то \( x = -\pi \) не принадлежит второй серии корней.
9. Единственный корень, принадлежащий отрезку \( [-\pi; -\pi] \), это \( x = -\pi \).

Ответ: \( -\pi \)