10. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 4√3 см, все боковые рёбра пирамиды равны 5см. Найти высоту пирамиды.

Решение:

1. Находим сторону основания (a):

По условию, \( a = 4\sqrt{3} \) см.

2. Находим радиус описанной окружности около основания (R):

Для правильного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

\[ R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см} \]

3. Находим высоту пирамиды (h):

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (l), высотой пирамиды (h) и радиусом описанной окружности около основания (R). В этом треугольнике гипотенузой является боковое ребро \( l \).

По теореме Пифагора:

\[ l^2 = h^2 + R^2 \]

Известно, что \( l = 5 \) см и \( R = 4 \) см.

\[ 5^2 = h^2 + 4^2 \]

\[ 25 = h^2 + 16 \]

\[ h^2 = 25 - 16 \]

\[ h^2 = 9 \]

\[ h = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \]

Ответ: 3 см